8 клас

Вивчаємо алгебру: Квадратні рівняння.

Девіз: „Вивчіть «ази» науки, перш ніж зійти на її вершину, ніколи не  беріться за вивчення         наступного, не засвоївши попереднього.”     І.П.Павлов

Пам’ятка 

Квадратним  рівнянням називають рівняння виду 

ах² + bх + с = 0,  де х – змінна, а, b, с – дані числа, причому а ≠ 0.

Числа а, b, с – коефіцієнти рівняння: 

а – перший (старший) коефіцієнт, b – другий, с – вільний член.

Якщо в рівнянні ах² + bх + с = 0 хоча б один із коефіцієнтів b або с дорівнює нулю, то таке квадратне рівняння називають неповним.

                                   Тестові завдання відкритої форми.

1) Якщо  ах² +bx  + с = 0 – квадратне рівняння, то:

 а називають _______________ ;

 b називають _______________ ;

  с називають _______________.

2) Корені квадратного рівняння  ах² +bx  + с = 0  обчислюють так:

D = …;

D ≥ 0 ; x_1,2 = … .

3) Квадратне рівняння вигляду  x² + px + q = 0 називають ______________.

4) Теорема Вієта стверджує, що в рівнянні вигляду  x² + px + q = 0

                                                        х₁+х₂=_______,

                                                        х₁∙х₂=_______;

                                              де х₁, х₂ – корені рівняння.

5) Якщо ах² +bx  + с = 0 – квадратне рівняння, то:

– старший коефіцієнт – це число _____;

– другий коефіцієнт – це число _____;

– вільний коефіцієнт – це число _____;

6) Корені квадратного рівняння  ах² +2kx  + с = 0  обчислюють так:

D₁ = …;

D₁ ≥ 0, x_1,2 = … .

7) Зведене квадратне рівняння – це рівняння вигляду __________.

8) Теорема Вієта (обернена) стверджує, що якщо х₁, х₂ – корені рівняння і

х₁+х₂ = – p,

х₁∙х₂ = q;,

то рівняння має вигляд  ______________ .

 Зразки завдань різних рівнів

I рівень	II рівень	III рівень
1. Розв’яжіть рівняння а) х2 – 7х = 0; б) х2 – 5х + 6 = 0; в) 5х2 + 8х – 4 = 0.	1. Розв’яжіть рівняння а) 7х2 + х = 0; б) 3 + 2х2 + 2х = 0; в) –3х2 – 4х + 2 = 0.	1. Розв’яжіть рівняння а) х3 – 7х2 = 0; б) 9х2 + 6х = 1; в) 4(х – 1)2 = 12х + 3.
2. Доберіть корені рівняння  х2 – 9х – 14 = 0.	2. Доберіть корені рівняння    2х2 – 20х – 78 = 0.	2. Нехай х1 та х2 – корені рівняння  х2– 8х + 3 = 0. Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу  1/х1 +1/ х2
3. Зведіть рівняння  (х + 3)(х – 3) = 2х + 4  до вигляду ах2 + bх + с = 0	3. Знайдіть р і х1, якщо х2  + px + 28 = 0 і х2 = − 7, де х1,  х2  - корені квадратного рівняння	3. Корені х1 та х2 рівняння  х2– 2х + c = 0  задовольняють умову 2х1 + х2 = 1. Знайти значення c.
Максимальна оцінка
6	9	12

Вивчаємо геометрію: Прямокутний трикутник.

Геометрія володіє двома скарбами: один з них – це теорема Піфагора, а другий – поділ відрізка в середньому і крайньому відношенні… Перший можна порівняти з мірою золота, а другий більше нагадує дорогоцінний камінь. 
                                                                                                         ( Й. Кеплер )

Прямокутний трикутник — трикутник, один із кутів якого прямий. Прямокутний трикутник займає особливе місце в планіметрії, оскільки для нього існують прості співвідношення між сторонами і кутами.

Сторони прямокутного трикутника мають власні назви. У прямокутному трикутнику сторони, які утворюють прямий кут, називаються катетами, а сторона, яка лежить проти прямого кута, називається гіпотенузою.

Властивості прямокутних трикутників

1.   Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.
2.    Якщо у прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 30°, то катет протилежній цьому куту буде дорівнювати половині гіпотенузі.
3.    Гіпотенуза прямокутного трикутника більша за будь-який його катет.
4.   Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°.
5.    Медіана, падаюча на гіпотенузу прямокутного трикутника, ділить його на два рівнобедрених трикутника, оскільки медіана дорівнює половині гіпотенузи.
6.  Якщо описати коло навколо прямокутного трикутника, то гіпотенуза буде діаметром кола.
7.  У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині.

Теорема Піфагора.

Однією із найважливіших у курсі з геометрії є теорема Піфагора:

у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику.

1) Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним проекцій катетів на гіпотенузу, тобто

2) Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним гіпотенузи і проекції цього катета на гіпотенузу, тобто

Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

1) Синус гострого кута прямокутного трикутника дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи.

2) Косинус гострого кута прямокутного трикутника дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи.

3) Тангенс гострого кута прямокутного трикутника дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого.

4) Котангенс гострого кута прямокутного трикутника дорівнює відношенню прилеглого катета до протилежного.

Пам'ятка

Задачі різнорівневого характеру

Вариант А1

1. Катети прямокутного трикутника  6 см і 8 см. Знайдіть довжину гіпо­тенузи.

2.Бічна сторона рівнобед­реного трикутника  5 см, а висота, проведена до основи, —

4 см. Знайдіть периметр трикутника.

3.Знайдіть катети рівнобедреного прямокутного трикутника, гіпотенуза якого 2 см.

Вариант Б1.

1. Діагональ прямокутника 13 см, а одна із його сторін — 12 см. Знайдіть периметр прямокутника.

2.Знайдіть периметр прямокут­ної трапеції, основи якої 2 см і 8 см, а біль­ша бічна сторона — 10 см.

3.Медіана рівностороннього трикутника 3 см. Знай­діть сторону трикутника.

Вариант В 1

В колі радіуса 13 см проведено хорду на відстані 5 см від центра кола. Знайдіть довжину хорди.

2.В прямокутній трапеції більша діагональ  15 см, а бічні сторони 12 см і 13 см. Знайдіть среднюю лінию трапеції.

3.Одна із сторін прямокут­ника на 2 см менше діаго­налі, а друга сторона  8 см. Знайдіть периметр прямокутника.